Joseph Storck wurde am 26. August 1897 in Guebwiller im Elsass geboren und war das älteste von neun Kindern. 1912 schrieb er sich an der Vorbereitungsschule und anschließend an der Lehrerbildungsanstalt in Colmar ein. Im September 1914 wurde er einberufen und diente bis 1918 in der Artillerie an der Ostfront.

Nach dem Krieg schloss Storck sein Studium in Aix-en-Provence ab und begann eine Laufbahn im Schuldienst. Er unterrichtete in mehreren Städten, bevor er 1928 Literaturlehrer in Colmar und 1931 Oberlehrer in Carcassonne wurde.

​1938 wurde Joseph Storck zum Schulleiter des Lycée Gay-Lussac in Limoges ernannt. 1940 wurde er als Artilleriebataillonskommandeur an die Lothringer Front und nach Belgien einberufen.

Zu Beginn des Zweiten Weltkriegs besuchten etwa fünfzig jüdische Schüler seine Schule, darunter Marcel Mangel, der später als Marcel Marceau bekannt wurde. Storck versorgte sie mit gefälschten Papieren und Lebensmittelkarten, die er in seiner geheimen Druckerei herstellte. Als deutsche Truppen im November 1942 Limoges besetzten, ging Joseph Storck ein weiteres Risiko ein, indem er den 14-jährigen jüdischen Schüler Lazare Landau in seinem Haus versteckte. Als die Milice 1944 die Schule durchsuchte, versteckte der Schulleiter den Schüler für die Dauer der Razzia in einem Raum seines Büros.

Joseph Storck schützte auch Schüler, die in der Résistance aktiv waren. Im Mai 1943 wurden elf Schüler, die der als „17. Barreau“ bekannten Organisation angehörten, verhaftet und im Lager Nexon interniert. Als der Befehl erging, sie von der Schule zu verweisen, setzten sich Joseph Storck und Herr Font, der Geschichtslehrer, vor dem Disziplinarausschuss für sie ein. Der Schulleiter besuchte sie im Lager, sorgte dafür, dass ihre Hausaufgaben korrigiert wurden, und erwirkte die Erlaubnis, dass sie ihre Prüfungen ablegen durften.

Nach der Befreiung trat Storck dem Departementsbefreiungskomitee (CDL) bei. 1944 wurde er Schulinspektor im Elsass, zunächst in Altkirch und anschließend in Colmar. Von 1971 bis 1977 war er Bürgermeister von Guebwiller.

Joseph Storck starb am 4. Januar 1989 in Biarritz. 1998 wurde er von Yad Vashem als „Gerechter unter den Völkern“ ausgezeichnet. Als Ehrenbürger von Limoges ist eine Straße der Stadt nach ihm benannt.